ظهور ساختارهای جبری

جمع وضرب معمول كه بر روی مجموعه اعداد صحیح مثبت انجام می شود اعمال دوتایی اند كه دارای خواص زیر می باشند مثلا اگر abc معرف اعداد صحیح مثبت دلخواهی باشد داریم

جمع وضرب معمول كه بر روی مجموعه اعداد صحیح مثبت انجام می شود اعمال دوتایی اند كه دارای خواص زیر می باشند. مثلا اگر a,b,c معرف اعداد صحیح مثبت دلخواهی باشد داریم.
1)a+b=b+a موسوم به قانون جابجایی جمع
2)a×b=b×a قانون جابجایی ضرب
3)c+b +a=c+(b+a) قانون شركت پذیری جمع
4)(c×b×a= b×a قانون شركت پذیری جمع
5)(c×a)+(b×a)=(c +b)×a قانون توزیع پذیری ضرب نسبت به در اوائل قرن نوزدهم جبر صرفا حساب علامتی تلقی می شد به عبارت دیگر به جای كاركردن با اعداد معین به طریقی كه در حساب عمل می شود، در جبر حروفی را كه معرف این اعداد به كادمی می جویم در این صورت در این صورت پنج عمل بالا در جبر بروی اعداد صحیح مثبت صادق اند ولی چون گزاره ها علامتی هستند این خواص را میتوان به عنوان خواص دستگاههای عناصر دیگری كاملا متفاوت با اعداد نیز تلقی كرد به عبارت دیگر یك ساختار جبری مشترك پنج خاصیت اسامی وپیامدهای آن به بسیاری از دستگاهها متفاوت وابسته است لذا باچنین دیدگاهی جبر با حساب گسسته درارتباط است.
این دیدگاه جدید در اوایل قرن نوزدهم با كار جورج پیكاك فارغ التحصیل ومعلم كمبریج وسرپرست كلیسای ایلی پدیدر شد وی با مقایسه جبر با اصول اقلیدس توانست برای خود عنوان اقلیدس جبر را كسب نماید او بین جبر نمایدی وجبر حسابی تمایز قائل شد بدین ترتیب كه تفریق در جبر نمادی با تفریق در جبر حسابی متفاوت است از این جهت كه در اولی این عمل همواره انجام پذیر است ولی در دومی مثلا در تفریق a-b باید داشته باشیم a>b توجیه تعمیم این قواعد جبر حسابی برای جبرنمادی توسط پیكاك اصل تداوم صورتهای معادل نامیده شد. جبر نمادی پیكاك یك جبر حسابی عام است كه اعمال ان تا وقتی كه درجبر بطور مشترك پیش می روند توسط اعمال جبر حسابی تعیین می شوند ودر سایر موارد بر طبق اصل تداوم صورتهای معادل معین می گردند بعنوان مثال در نظریه نمادها اگر a یك عدد گویای مثبت و nعددی صحیح ومثبت باشد آنگاه an حاصلضرب n باد a درخود است از این تعریف نتیجه می شود كه به ازای هر دو عدد صحیح مثبت مانند m و n ، بنابر اصل تداوم صورتهای معادل پیكاك پذیرفت كه در جبر نمادی ماهیت پایه یا نمادهای n,m هر چه باشند داریم در اوایل قرن نوزدهم قابل تصور نبود كه جبری متفاوت با جبر معمولی حساب موجود باشد مثلا كوشش برای ساختن جبر سازگاری كه در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نباشد نه تنها احتمالا در آن زمان به ذهن كسی نمی رسید بلكه حتی اگر هم به ذهن كسی خطور می كرد مطمئنا به عنوان فكر كاملا مسخره ای دورافكنده می شد با همه اینها چگونه می شد احتمالا جبری منطقی داشت كه در آن b×a مساوی a×bنباشد درباره جبر احساس چنین بود تا آنكه در سال 1843 ویلیام اوائل همیلتن بنابر ملاحضاتی در فیزیك مجبور به اختراع جبری شد كه در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نیست. ازلحاظ ریاضیدانان عصر وی یك عدد مختلط عددی بود به شكل a+bi كه در آن a و b اعداد حقیقی بودند و جمع و ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن a+bi بعنوان یك چند جمله ای خطی نسبت به گذاشتن به جای i2 ، هر جا كه ظاهر می شد، صورت می گرفت.

برچسب ها : ظهور ساختارهای جبری , ظهور ساختارهای جبری , جبر , ساختارهای جبری